Votre exemple est faux : vous prétendez que 5/9=0,555555556 mais c’est une approximation qu’effectue votre calculatrice en arrondissant le dernier chiffre affichable... ;)
Le théorème dit simplement que si il y a un écart entre deux nombres alors ils sont diffèrents et réciproquement. La démonstration est triviale en fait.