@ezechiel
Vattay reprend le modèle de l’hydrodynamique 
Dans ce modèle, on attache à chaque point d’un fluide, considéré comme continu, des champs (vitesse, pression, densité, pesanteur), donné par une fonction du temps et de l’espace F(x,y,z,t).
En description lagrangienne, on suit une particule de fluide dans son mouvement. Or la particule traverse des zones où les contraintes, les vitesses,... varient. Donc, pour connaître l’évolution de la densité de la particule de fluide dans le temps, on est obligé de tenir compte des variations de celle-ci dans l’espace.
C’est ce modèle qu’on reprit Madelung, Böhm et Vattay.

Ils considèrent une particules dans un fluide, dont les conditions initiales sont déterminées (densité, vitesse) et essayent de déduire son devenir en fonction des contraintes qu’elles va subir, au fil de l’eau, ce devenir étant pris à priori comme indéterminé.

La modélisation de Slotine/lohmiller est très différente.
Déjà, les conditions initiales des particules ne sont pas parfaitement connues. Par exemple, dans l’expérience des fentes d’Young, seule la position l’est (passage fente A ou fente B), la quantité de mouvement initiale étant inconnue.
En revanche, les conditions finales ne sont pas totalement inconnues. Par exemple, dans l’expérience des fentes d’Young, on considère un point sur l’écran, qui est l’aboutissement terminal du flux, là où se fait la mesure.

Ensuite, Ils postulent que, ce qui se trouve sur l’écran, y est nécessairement parvenu par deux chemins distincts, une partie par la fente A, l’autre par la fente B, et surtout que sur chacun de ces chemins, la partie du Flux impliquée a respecté une équation Hamilton Jacobi. Cette équation utilise le principe variationnel, donc nécessite de connaître les deux extrémités, ce qui est le cas ici.

La partie du flux passé par la fente A ou B au temps T1 se retrouve intégralement sur l’écran au temps t2, donc, la densité n’a pas de variation spatiale. On peut aussi le prendre comme un postulat.

Le résultat qui serait intéressant d’avoir :
Soit deux fonctionnelles (fonctions de fonctions) qui respectent deux équations de Hamilton-Jacobi différentes. Leur somme respecte-t-elle nécessairement une équation de Hamilton-Jacobi unique ? 

A mon avis, le résultat est Non.